三石・数学塾

移転します

task — 2008-10-17T14:26:05+09:00

ありがとうございます。
このブログは下記に移転しました。

http://task.naganoblog.jp/

積分の問い・・

task — 2008-10-15T01:21:53+09:00

問いのみ掲載します。
こういう問題。

じゃんけんの不合理

task — 2008-10-08T10:11:39+09:00

図は運動会の種目の１つで、赤の所にいるジャンケンマンと１人ずつじゃんけんをするというもの。去年は５勝２０敗という悲惨な結果に終わった。

これによると５勝２０敗というのはありえない結果で、どうやら確率が１／２ではなかった、つまりクセを読まれたのではないかと、言えそうだ。

生まれた日の曜日

task — 2008-10-03T00:33:16+09:00

今日１０月２日は誰の誕生日か、調べたら歌手の浜崎あゆみさんがそのようだった。
そこで、こんな問題を考えた。

曜日は周期が７なので、日数を７で割った余りに着目すればいい。しかし、計算が面倒にならないように年ごとにいくつずれるかを調べた方がよさそうだ。

（注）解答の中の「１９７９年」という表記は、「１９７８年」の誤りです。訂正してお詫びします。

コマ大（折り紙）

task — 2008-10-01T12:49:12+09:00

ゆうべのコマ大は総集編だった。

正方形の紙を用意していろいろとやってみたけど、５分の１なのかわからないので、結局紙に書いて計算をした。

面積が５の正方形から、面積が１の図形を作ればいい。
下の図で、できたと思った。

図の黄色の直角三角形が残るように、残りの部分を折り曲げてしまえばいいのだ。折り曲げるルールは特に指示が無いから、どんなふうに折っても最終的に黄色の三角形が残ればOKではないか・・。

ところが解答はこうだった。

中の正方形が全体の５分の１になるようだ。赤の線で折って折り目をつけて開き、次に青の線で折りたためば黄色の正方形が残る。

これはスゴい！！
知らなければ、短時間ではとても気づけない・・。

セパレートコースの位置

task — 2008-09-29T21:58:10+09:00

たぶんトラック（黄色の部分）の大きさには依存しないだろうと思い、考えていたところ、

スタート地点の位置のズレ＝（コースの幅）×（円周率）

こういう公式を発見した。

例えばコースの幅が８０ｃｍだとすると、これに３．１４を掛けて、ほぼ２．５ｍとなる。何となく合っている感じだ。

テニスのゲーム数

task — 2008-09-26T21:27:27+09:00

次は、何年か前にあるＴＶ番組で出た問題。

何の番組だったか・・。

ちょうどＣ夫妻だけが同じ２回という回数なので、これが山田夫妻になるしかなく、それで答えが決定する。

コマ大（多数決）

task — 2008-09-24T22:01:09+09:00

ゆうべのコマ大はこういう問題だった。

問題の意味がまったくわからず、いろいろと解釈しているうちに番組が終わってしまった。この文章だけでは曖昧すぎる。

こういうことだろう。

1番目の海賊の提案によって賛成者が半数以上得られ、その結果山分け額が決定するという提案のうち、1番目の海賊の獲得枚数が最大となる

という提案を求めること。

補足すると、こうなる。

・海賊には１～１００までの順番がついていて、自分より前の者全員が海に投げ込まれたら、次に自分が提案できる。
(冷酷非情というキーワードは特に重要ではない）
・海に投げ込まれた者は、金貨をもらうことも多数決に参加することもできない。
・提案者は、「自分に何枚、誰々に何枚」というような獲得枚数のみの提案をする。
・多数決の結果、賛成者が半数以上ならその提案は可決され、その時点で山分けの額が決定する。
・多数決には、提案者も参加する。（当然「賛成」する）
・どの提案者も、他のメンバーの思考を読んで半数以上の賛成が得られるような提案を行う。
・提案者以外の者は、自分の利益のみを考えて判断する。他の者と相談や談合はしない。
・この１００人は全員が頭がよく、皆論理的に判断する。また、そのことを全員が知っている。

なかなかややこしい。どうやら

「この提案を反対してしまうと、次の提案になったとき1枚ももらえない。だから、ここで1枚でももらえるなら賛成しよう」

こういう思考を皆がする、という感じだ。

実にややこしい。
これで合っているのだろうか？

ルートの数の作図

task — 2008-09-22T10:54:40+09:00

（土）の宿泊はビジネスホテルで、夜なかなか寝付けなかったので数学の問を考えていた。こんな問いだ。

「作図せよ」なので、目盛りの無い定規１本とコンパス１つしか使えない。

（１）は正三角形の高さを考えればいい。（２）はどうやるのか、これで悩んでいた。

本に答えが載ってなかったので、これが正解かわからない・・。
ほかにうまい作図が、あるかもしれない・・。

コマ大（天保からの挑戦）

task — 2008-09-17T19:55:29+09:00

斜めの２本線はそれぞれ一直線である。こういうふうに対角線が引けるよう、乙の大きさを設定するのが問題で、これは中学３年の相似で解ける。

ポヌさんというマス北野氏の助手が「黄金比」だと言っていた。
黄金比を調べてみたところ、下図のように長方形から正方形を切り取ったとき、

残った長方形が元の長方形と相似になる

このときの２辺の比を言うようだ。

解答の図を見ると、右上の青い長方形がまさにこれと同じ形になっていて、（乙の1辺）：（甲の1辺）が黄金比になっている。

メールが届くかどうか

task — 2008-09-16T11:07:59+09:00

組合というのは村の中のいくつかのグループのことで、8番組というのは私の組合のこと。この問は、奇数の件数だと常に成立するようだ。

なので「数学的帰納法」を使う。

帰納法の問題を探していたところ、こういう問いを発見した。
疑問に思っていたことが帰納法のｋなのだけど、

ｋのときの成立を仮定し、ｋ＋１の成立を示す

というところ。このｋは「任意のｋ」なのか「あるｋ」なのか？「あるｋ」だと思っていたのだけど、「任意のｋ」と書かれた教科書もあった。

どうも解釈の違いなのかもしれない。よく、わからない・・。

１＋１が１になる

task — 2008-09-13T02:21:48+09:00

あるテレビドラマで、「１＋１が１になる世界だってある」と言っていた。これが気になって調べてみたのだけど、「ブール代数」というものがあって、そこでは１＋１＝１となるようだ。

「真」を１、「偽」を０として、＋を∪に、×を∩にすれば、何となく意味が通る感じだ。

ＩＭＯを解く（その３）

task — 2008-09-11T20:29:23+09:00

ＩＭＯ、国際数学オリンピック２００８
引き続き考えているのだけど、1番の問いが何とか解けた感。

同一円周上にあることを示す方法は、例えば「円周角の定理の逆」とか、四角形の対角の和が１８０°になること、あとは「方べきの定理の逆」とか。このあたりを考えようとしたけど図が複雑すぎて手がかりがつかめない。

６つの点を通る円があるとすれば、その中心はＡ１Ａ２、Ｂ１Ｂ２、Ｃ１Ｃ２の垂直二等分線の交点だから、これは外心だ。だから先に外心Ｏを取っておいて、ここから６つの点までの距離を調べようと考えた。

三角形の外心、重心、垂心は一直線上にあることが知られていて、さらにベクトルＯＨは、ベクトルＯＡ、ＯＢ、ＯＣの和になる。これを使ってゴリゴリ計算していったところ、偶然できた。

どうも、もっとうまい解答があるような気がする・・。

コマ大（フラッグ）

task — 2008-09-10T16:04:54+09:00

ゆうべのコマ大は、こんな問題だった。

例えば４番のところに集めるとすると、まず１番を運び、次に２、３、５、６、・・・、１３番と往復するので、歩く距離は、
　　３＋２（２＋１）＋２（１＋２＋３＋・・・＋９）
となる。

文字を設定して数列の和を使えば、距離が表せる感じだ。
　　

距離がｘの２次関数になるので、平方完成か微分かで解ける。こんな感じだろうと思っていたけど、マス北野氏は秒殺！東大生は絶対値を使った式を書いていた。

番組の中で口頭で言っていたことをまとめると、だいたいこうなる。
いろんな考え方があるものですな、ほんと。

ＩＭＯを解く（その２）

task — 2008-09-08T12:36:37+09:00

ＩＭＯ、国際数学オリンピック２００８
昨日の続き。

これの（２）を考えた。
（１）で等号が成り立つのはｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ＝３のときだとわかったので、問題を言い換えると、

「ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ＝３かつｘｙｚ＝１をみたす１でない有理数ｘ、ｙ、ｚの組が無数に存在する」

これを証明すればいいことになる。
ｚを固定してｘ、ｙの2次方程式を考えるという方法で、結構悩んでいた。

偶然ｚを－ｎ（ｎ＋１）にしたら解けただけで、根拠が無い。こんな解き方ではダメだろう・・。

ＩＭＯを解く（その１）

task — 2008-09-07T14:21:15+09:00

２００８年のＩＭＯ、国際数学オリンピックの問題がやっとＵＰされた。こちら。

昨日一日考えて何とか２番の問いが解けた。これが一番手を付けやすい感じだ。

今日は（１）のみ。
左辺がすごい式になっていて、いきなり通分するのはムリだろう。ｘｙｚ＝１をうまく使って何とか簡単な形に変形できないかを考えた。

３文字の対称式なので、基本対称式Ａ＝ｘ＋ｙ＋ｚ、Ｂ＝ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ、Ｃ＝ｘｙｚだけの式で表せる。ここではＣ＝１だから、元の不等式の左辺は必ずＡとＢだけの式で表すことができるはず。

こういう方針を持って、（左辺）＝（ＡとＢの式の平方）＋１という式を目指した。

問題は（２）で、結構苦労して解を探した。
また明日。

待ち合わせ場所をどこに？

task — 2008-09-06T17:09:54+09:00

次は、難しくて解けなかった幾何の問い。

道のりの和ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣを、1本の線分になるように図を描き加えてみるのがポイントのよう。

正三角形ＡＱＢを作図したあと、合同な二等辺三角形ＱＢＳとＡＢＴをかく要領でコンパスを使えば、ＡＴとＱＣの交点が求めるＰとなる。

この点Ｐは、外心でも内心でもないし、何という点だろう・・？

コマ大（１００）

task — 2008-09-03T14:46:41+09:00

ゆうべのコマ大は先週の続きで、特別企画だった。最後の５問目は、俗に言う「小町算」というやつ。

２つの□が使われずそこが詰まるので、
３桁１個、１桁６個　　または　　２桁２個、１桁５個
このどちらかの形になる。前者の方は数が大きすぎてダメだろう。なので後者から探すことになる。

まず適当に６個の＋を入れて和の式をつくり、オーバーした分の半分の数が負の項の和になればいい。これ以外の場合についても調べたけど、見つからなかった。答えはたぶん上の１種類だろう。和の１００が偶数なので、和を構成する数のうち、奇数は偶数個である。これに気をつけて全パターンを調べてもそんなに時間はかからないと思う。

最良の人と結婚するには

task — 2008-09-01T12:08:25+09:00

「結婚問題」というややこしいものがある。一人の女性が順番に男性と見合いをしていき、どのあたりでＯＫするのがベストか、という問題だ。いろいろと考えてきたのだけど、イマイチよくわからない。これは判断基準にもよるし。今回は次のような設定で考えた。

紛らわしいので、いろいろと注釈がいる。

・どの男性とも初対面であり、見合いの順番はランダムである。
・順番に見合いをするのだが、次以降の男性がどんな人なのかわからない。
・決定した男性の方から断ってくることはない。
・「最高の男性」とは、１０人の中で最高だと彼女が思った人のことである。
・どの２人の男性に対しても、（彼女の判断で）どちらがよいか異なるランキングがつく。

注釈が多すぎてややこしくなった・・。結局のところ、異なる任意の整数が書かれた１０枚のカードを順に引き、どこでストップをかけると最大の数が得られるか？ということと同じ感じだ。

あまり早く決めてしまうと、あとの人のがよかったと後悔するし、高望みして見送ってばかりいると、残りにロクなものがいなくて後悔する。

ので、ほどほどがいいようです。それが３人ということなのか・・。
解答は合っているのか、わからない。

愛の愛情

task — 2008-08-28T15:27:49+09:00

次の問題は１級の過去問らしい。

ｉのｉ乗だ。この問題は大学１年のレベル。
実はこれが実数になるのだけど、何だか不思議だ。

オイラーの定理

を利用する。