ＩＭＯを解く（その３）

ＩＭＯ、国際数学オリンピック２００８
引き続き考えているのだけど、1番の問いが何とか解けた感。

同一円周上にあることを示す方法は、例えば「円周角の定理の逆」とか、四角形の対角の和が１８０°になること、あとは「方べきの定理の逆」とか。このあたりを考えようとしたけど図が複雑すぎて手がかりがつかめない。


６つの点を通る円があるとすれば、その中心はＡ１Ａ２、Ｂ１Ｂ２、Ｃ１Ｃ２の垂直二等分線の交点だから、これは外心だ。だから先に外心Ｏを取っておいて、ここから６つの点までの距離を調べようと考えた。

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ＩＭＯを解く（その２）

ＩＭＯ、国際数学オリンピック２００８
昨日の続き。

これの（２）を考えた。
（１）で等号が成り立つのはｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ＝３のときだとわかったので、問題を言い換えると、


「ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ＝３かつｘｙｚ＝１をみたす１でない有理数ｘ、ｙ、ｚの組が無数に存在する」


これを証明すればいいことになる。
ｚを固定してｘ、ｙの2次方程式を考えるという方法で、結構悩んでいた。

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ＩＭＯを解く（その１）

２００８年のＩＭＯ、国際数学オリンピックの問題がやっとＵＰされた。こちら。

昨日一日考えて何とか２番の問いが解けた。これが一番手を付けやすい感じだ。

今日は（１）のみ。
左辺がすごい式になっていて、いきなり通分するのはムリだろう。ｘｙｚ＝１をうまく使って何とか簡単な形に変形できないかを考えた。


３文字の対称式なので、基本対称式Ａ＝ｘ＋ｙ＋ｚ、Ｂ＝ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ、Ｃ＝ｘｙｚだけの式で表せる。ここではＣ＝１だから、元の不等式の左辺は必ずＡとＢだけの式で表すことができるはず。


こういう方針を持って、（左辺）＝（ＡとＢの式の平方）＋１という式を目指した。

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JMOを解く（その１２）

２００８年日本数学オリンピック予選の最後の問。

毎年最後の問題は相当難しい。これも見た目すぐには解答が思いつかない。まずは小さい数で調べて、ようすをとらえよう。

和が８の場合。
（２、３、３）なら、２＋６＋１８＝２６
（３、３、２）なら、３＋９＋１８＝３０
なので、前に大きな数を持ってくる方がいい。

また、
（５、３）なら、５＋１５＝２０
（４、３、１）なら、４＋１２＋１２＝２８
（２、２、２、２）なら、２＋４＋８＋１６＝３０
なので、あまり大きな数は使わない方がいい。


これらを手がかりに検証していく。

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JMOを解く（その１１）

ＪＭＯ日本数学オリンピック２００８予選。

あと残すところ２問だ。全問解いて解答を作ること、ほんと骨が折れる。
これは中学の幾何＋高校の三角比の問題。補助線を発見するまで２日かかった・・。

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JMOを解く（その１０）

JMO日本数学オリンピック２００８年予選。

この問はよくわからない。

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JMOを解く（その９）

JMO日本数学オリンピック２００８年予選。

２００８個の数の和なので、初項から１つずつ調べていっては気の遠くなる話だ。和の式が「閉じた式」で表せないか？
とりあえず漸化式の絶対値をはずすため、２乗してみた。

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JMOを解く（その８）

JMO日本数学オリンピック２００８年予選。
だいぶ疲れてきた。予選とはいえ、私にとってはかなりの難問。

はじめ全く意味がわからなかったが、こんな感じになる。
硬貨の表を○、裏を●とすると、

この場合はこれでもう裏返せるものがないので終わり。裏向きの硬貨は４枚となる。
こんなふうに実験を繰り返したとき、裏向きになる硬貨は平均何枚かを求めなさい、というのである。

裏向きになる枚数は少なくて２、多くて８だ。だから２～８までのそれぞれの確率を求め、期待値の公式に当てはめればいいが、とても大変でやる気がしない。正攻法ではムリっぽい。何か発想の転換が必要になる感じだ。

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JMOを解く（その７）

JMO日本数学オリンピック２００８年予選。
早いとこ全部ＵＰしてこのシリーズ終わりにしたい・・。

６桁の平方数の上３桁というのは、
３１６×３１６＝９９８５６
３１７×３１７＝１００４８９
３１８×３１８＝１０１１２４
・・・・・・・・・・・・・・
９９８×９９８＝９９６００４
９９９×９９９＝９９８００１
１０００×１０００＝１００００００
この赤い数字だ。１００から９９８まで全部の値を取ってくれれば簡単だが、９９７のように飛ばされる値があり得る。これをどうカウントするか・・。

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JMOを解く（その６）

JMO日本数学オリンピック２００８年予選。

これは難問だ。例えばａ、ｂ、ｃの関係が、
ａ＝６１２３４５、ｂ＝１２３６４５、ｃ＝１２３４５
のようになっていて、このうちａがｂの倍数になるものを求めなさい、ということである。

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JMOを解く（その５）

JMO日本数学オリンピック２００８年予選。

確率の問題。これは高校１年の数学Ａ、教科書の章末レベルくらい。

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ＪＭＯを解く（その４）

JMO日本数学オリンピック。２００８年予選。
まだまだ問は続く。全問ＵＰできるかどうか・・。

だんだん難しくなってきて、私の手に負えない問が続く。
「４で割った余りが２になる数」というのは、２×（奇数）の形の数。このような数を全体から除けばいい。

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JMOを解く（その３）

ＪＭＯ、日本数学オリンピック。２００８年の予選。

何だかややこしい条件がある。はじめ問を見たとき、意味がわからなかった。どんな場合かというと、

こんな場合だ。

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JMOを解く（その２）

ＪＭＯは「日本数学オリンピック」
これの２００８年度の予選の問。

中学レベルの問。これは大したこと無い。

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JMOを解く（その１）

ＪＭＯというのは「日本数学オリンピック」という大会のことで、詳しくはこちらにある。

例えば、４、５、６、９の最小公倍数は、
４＝２×２
５＝５
６＝２×３
９＝３×３
右辺の赤い数を掛け合わせて、
２×２×３×３×５＝１８０となる。

この赤い数が多くなるように設定すればいい。

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